C++选拔数学与逻辑能力测试卷（全选择题）

考试时间：60分钟 满分：100分

前置知识

• $\neg$ 表示非
• $n \equiv 3 \pmod{7}$ 表示$n$除以7的余数等于3

1. 已知正整数$n$满足$\lfloor \sqrt{n} \rfloor = 10$（$\lfloor x \rfloor$表示不大于$x$的最大整数），且$n \equiv 3 \pmod{7}$，则$n$的可能取值有（ ）个{{ select(1) }}

• 2
• 3
• 4
• 5

2. 若正整数$a$、$b$满足$\gcd(a,b) = 6$（最大公约数），$\text{lcm}(a,b) = 120$（最小公倍数），则$a + b$的最小值为（ ）{{ select(2) }}

• 42
• 54
• 66
• 78

3. 从1到100的整数中，能被3整除但不能被5整除的数的个数为（ ）{{ select(3) }}

• 27
• 30
• 33
• 36

4. 已知$x$、$y$为正整数，且$2x + 3y \leq 12$，则$xy$的最大值为（ ）{{ select(4) }}

• 6
• 8
• 9
• 12

5. 若四位数$\overline{abcd}$（$a,b,c,d$为数字，$a \neq 0$）能被6整除，则这样的四位数共有（ ）个{{ select(5) }}

• 1440
• 1500
• 1600
• 1680

6. 用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数，其中十位数字比个位数字大的四位数有（ ）个{{ select(6) }}

• 150
• 180
• 210
• 240

7. 已知“若$A$则$B$”为真命题，则下列命题中一定为真的是（ ）{{ select(7) }}

• 若$B$则$A$
• 若$\neg A$则$\neg B$
• 若$\neg B$则$\neg A$
• $A$且$\neg B$

8. 甲、乙、丙三人中只有1人说真话，甲说“乙在说谎”，乙说“丙在说谎”，丙说“甲和乙都在说谎”，则说真话的人是（ ）{{ select(8) }}

• 甲
• 乙
• 丙
• 无法确定

9. 对于逻辑变量$p$、$q$，与表达式$\neg (p \land q)$等价的是（ ）{{ select(9) }}

• $\neg p \land \neg q$
• $\neg p \lor \neg q$
• $p \land \neg q$
• $\neg p \lor q$

10. 某程序的条件判断为“若$x > 5$且$y < 3$，则执行操作A”，则下列情况中一定不执行操作A的是（ ）{{ select(10) }}

• $x = 6$，$y = 2$
• $x = 5$，$y = 1$
• $x = 7$，$y = 3$
• $x = 8$，$y = 0$

11. 有1堆24颗的石子，甲、乙轮流取，每次可取1-4颗，取最后1颗者胜。若甲先取，采用最优策略，第一次应取（ ）颗{{ select(11) }}

• 1
• 2
• 3
• 4

12. 在"取糖果"游戏中，桌上有3盒糖果，数量分别为4、7、8颗，规则为"轮流取，每次只能从1盒中取任意数量（至少1颗），取完最后1颗者胜"。先手最优策略为（ ）{{ select(12) }}

• 从4颗盒中取1颗
• 从7颗盒中取3颗
• 从8颗盒取5颗
• 从7颗盒中取1颗

13. 甲、乙两人玩“猜数字”游戏：甲先想一个1-100的整数，乙每次猜一个数，甲会告知“大了”“小了”或“猜对了”。若乙采用最优策略，最多猜（ ）次就能保证猜对{{ select(13) }}

• 5
• 6
• 7
• 8

14. 有1张圆饼，甲、乙轮流切，每次切下的饼的大小不同，但必须是一个扇形（过圆心,不能去整张），最后无法切的人输。若甲先切，采用最优策略，第一次应切走圆饼的（ ）{{ select(14) }}

• $\frac{1}{2}$
• $\frac{1}{3}$
• $\frac{1}{4}$
• 任意大小

15. 在一个4*3的街区,从左上角走到右下角有多少种走法,每次只能向右或者向下（ ）{{ select(15) }}

• 12
• 24
• 28
• 35

16. 5个不同小球放入3个不同盒子，每个盒子至少1个，不同放法有（ ）种{{ select(16) }}

• 150
• 144
• 120
• 108

17. 将15个完全相同的苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友至少分到2个苹果，且苹果必须全部分完，则不同的分配方案有（ ）种{{ select(17) }}

• 48
• 54
• 55
• 66

18. 数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_{n+1} = 2a_n + 3^n$，则$a_5 =$（ ）{{ select(18) }}

• 189
• 199
• 209
• 211

19. 数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n = 2a_n - n$，则$a_3 =$（ ）{{ select(19) }}

• 7
• 15
• 31
• 63

20. 从5名男生3名女生中选3人，至少1男1女的选法有（ ）种{{ select(20) }}

• 45
• 55
• 60
• 65

21. 掷两个骰子，规则"点数和2-6甲胜；点数和7-11乙胜；点数和12重新掷"，甲获胜概率为（ ）{{ select(21) }}

• $\frac{4}{9}$
• $\frac{3}{8}$
• $\frac{3}{7}$
• $\frac{5}{9}$

22. 有10个任务，每个任务需要的时间分别为$[3,5,2,7,1,8,4,6,9,10]$，每个任务完成后可获得对应收益$[10,20,5,30,2,40,15,25,45,50]$。若总时间限制为20，最大收益为（ ）{{ select(22) }}

• 85
• 90
• 95
• 97

23. 某商店有5种商品，重量分别为$[2,3,5,7,10]$kg，价值分别为$[5,8,12,15,20]$元。若背包最大承重为15kg，最大总价值为（ ）{{ select(23) }}

• 28
• 30
• 32
• 35

24. 有6个活动，起始时间分别为$[1,3,0,5,3,7]$，结束时间分别为$[4,5,6,7,9,9]$。安排最多活动数量，最多可安排（ ）个{{ select(24) }}

• 2
• 3
• 4
• 5

25. 用面值为1元、3元、10元、20元、50元的纸币支付1-100元任意金额，需要的纸币张数最少为（ ）{{ select(25) }}

• 8
• 9
• 10
• 11