钩长公式（Hook - length formula）是组合数学中用于计算杨表（Young tableau）数量的一个重要公式，下面将从定义、公式内容、证明思路、应用场景几个方面进行介绍：

基本定义

• 杨图（Young diagram）：给定一个正整数的分拆 (\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k))，其中 (\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_k>0) 且 (\sum_{i = 1}^{k}\lambda_i=n)，对应的杨图是由 (n) 个方格组成的左对齐的方格阵列，第 (i) 行有 (\lambda_i) 个方格。例如，对于分拆 ((3, 2, 1))，其杨图为三行，第一行 3 个方格，第二行 2 个方格，第三行 1 个方格。
• 杨表（Young tableau）：在杨图的每个方格中填入 (1,2,\cdots,n) 这 (n) 个数字，使得每行从左到右数字递增，每列从上到下数字递增，这样得到的填法称为一个标准杨表。

钩长公式内容

设 (\lambda) 是 (n) 的一个分拆，(Y(\lambda)) 表示形状为 (\lambda) 的标准杨表的个数。对于杨图中位于第 (i) 行第 (j) 列的方格 (x=(i,j))，其钩长 (h(x)) 定义为该方格右边和下边的方格总数（包括该方格本身）。

钩长公式表述为：(Y(\lambda)=\frac{n!}{\prod_{x\in\lambda}h(x)})，其中 (n=\sum_{i}\lambda_i)，乘积是对杨图 (\lambda) 中所有方格 (x) 进行的。

例如，对于分拆 (\lambda=(2, 1))，对应的杨图有 3 个方格，第一行 2 个，第二行 1 个。左上角方格 ((1,1)) 的钩长 (h(1,1)=2 + 1-1=2)（右边 1 个方格，下边 0 个方格，加上自身），右上角方格 ((1,2)) 的钩长 (h(1,2)=1)，左下角方格 ((2,1)) 的钩长 (h(2,1)=1)。根据钩长公式，形状为 ((2,1)) 的标准杨表的个数 (Y((2,1))=\frac{3!}{2\times1\times1}=3)。

证明思路

• 双射方法：通过建立与其他组合对象的双射关系来证明。例如，可以将标准杨表与某种特殊的排列或者路径进行对应，然后通过计算这些对应对象的数量来得到标准杨表的数量。
• 归纳法：对 (n) 进行归纳。先证明 (n = 1) 时公式成立，然后假设对于小于 (n) 的正整数公式成立，通过分析 (n) 的分拆与 (n - 1) 的分拆之间的关系，利用归纳假设来证明对于 (n) 公式也成立。

应用场景

• 表示论：在对称群的表示论中，标准杨表的数量与对称群的不可约表示的维数密切相关。钩长公式为计算这些维数提供了有效的方法。
• 组合计数：在解决一些复杂的组合计数问题时，如果问题可以转化为杨表的计数问题，就可以使用钩长公式。例如，在计算某些特定类型的排列组合问题中，通过构造合适的杨图和杨表，可以利用钩长公式得到结果。