定义

对于任意数列(a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots)，即用如下方法与一个函数联系起来：构造形式幂级数(G(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots=\sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n)，则称(G(x))是数列({a_n})的生成函数（generating function）。这里的(x)是形式变量，不一定要考虑其具体取值和级数的收敛性等问题，主要是利用这种形式来对数列进行操作和分析。

例子

比较典型的是：

• 常数列：考虑数列(a_n = 1)，(n = 0,1,2,\cdots)，其生成函数(G(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}1\times x^n=1 + x + x^2+\cdots+x^n+\cdots)。根据等比级数求和公式（在形式幂级数意义下），当(\vert x\vert<1)时，(G(x)=\frac{1}{1 - x})。例如，在组合问题中，如果有一个物品可以取(0)个、(1)个、(2)个……任意非负整数个，那么其选取情况的生成函数就是(\frac{1}{1 - x})。
• 等差数列：对于等差数列(a_n=n)，(n = 0,1,2,\cdots)，其生成函数(G(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}nx^n=0\times x^0+1\times x^1 + 2\times x^2+3\times x^3+\cdots)。我们知道(\sum_{n = 0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1 - x})，对其两边求导可得(\sum_{n = 1}^{\infty}nx^{n - 1}=\frac{1}{(1 - x)^2})，两边同乘(x)就得到(G(x)=\frac{x}{(1 - x)^2})。
• 斐波那契数列：斐波那契数列定义为(F_0 = 0)，(F_1 = 1)，(F_n=F_{n - 1}+F_{n - 2})（(n\geq2)），其生成函数(G(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}F_nx^n=F_0+F_1x+F_2x^2+\cdots)。由递推关系可得(G(x)=x+\sum_{n = 2}^{\infty}(F_{n - 1}+F_{n - 2})x^n=x+xG(x)+x^2G(x))，移项求解得(G(x)=\frac{x}{1 - x - x^2})。