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数学
一道简简单单的集合题
Chenyuze24 LV 6 @ 2025-1-14 13:54:38

已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),$ 集合 $A=\{x∈R|f(x)=x\}$ . 集合 $B=\{x∈R|f(f(x))=x\}.$

(1)证明: $A$ 是 $B$ 的子集;

(2)若 $A=∅$ ,讨论集合 $B$ 中的元素个数，并证明.

王嘉澔 LV 7 @ 2025-3-15 20:06:22

1.设任意x∈A，则根据 A 的定义，f(x)=x。将f(x)=x代入f(f(x))，得：f(f(x))=f(x)=x。因此x∈B，故A⊆B。 2.若A=∅，则方程f(x)=x无实根，即二次方程ax^2+(b−1)x+c=0的判别式 Δ=(b−1)^2−4ac<0。此时，函数f(x)的图像全部位于直线y=x的上方或下方。考虑方程f(f(x))=x，即：a(f(x))^2+bf(x)+c=x 若f(x)<x对所有x成立，则f(f(x))<f(x)<x，矛盾；同理，若f(x)<x对所有x成立，则f(f(x))<f(x)<x，亦矛盾。因此，方程f(f(x))=x无解，即B=∅。
Chenyuze24 LV 6 @ 2025-1-14 13:58:07

@张轩铭，@袁子尧，@廖胤涵你们会做吗
集合单调性